Suponha f''' contínua em [a, b] . Conclua do Exercício 12 que

f b = f a + f ´ a b - a + f ´ ´ a 2 b - a 2 +   ∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t

Passo 1

Vamos utilizar a integração por partes para fazer a integral dada

∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t

Que é utilizado dessa maneira:

∫ a b u d v = u v b a - ∫ a b v d u

Vamos resolver a integral usando isso para conferir

Passo 2

Vamos usar para a integral u = b - t 2 2   → d u = 2 b - t 2 × - 1 d t = t - b d t   e   v = f ´ ´ t → d v = f ´ ´ ´ t d t , assim:

∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t = f ´ ´ t b - t 2 2 b a - ∫ a b f ´ ´ t t - b d t

∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t = f ´ ´ t b - t 2 2 b a + ∫ a b f ´ ´ t b - t d t

Para fazer a integral do outro lado. Vamos usar novamente a integração por partes:

u = b - t   → d u = - d t   e   v = f ´ t → d v = f ´ ´ t d t

∫ a b b - t f ´ ´ t d t = f ´ t b - t b a + ∫ a b f ´ t d t

O termo f ´ ´ t b - t 2 2 b a , vai ficar:

f ´ ´ t b - t 2 2 b a = f ´ ´ b b - b 2 2 - f ´ ´ a b - a 2 2 = - f ´ ´ a b - a 2 2

Esse termo f ´ t b - t b a vai ser resolvido assim:

f ´ t b - t b a = f ´ b b - b - f ´ a b - a = - f ´ a b - a

E a integral de dentro vai ficar:

∫ a b f ´ t d t = f t b a = f b - f a

Substituindo:

∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t = - f ´ ´ a b - a 2 2 - f ´ a b - a + f b - f a

Passo 3

Agora só precisamos de isolar o f b :

∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t = - f ´ ´ a b - a 2 2 - f ´ a b - a + f b - f a

f b = f a + f ´ a b - a + f ´ ´ a b - a 2 2 + ∫ a b b - t 2 2 f ´ ´ ´ t d t

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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