Calcule:

∫ - ∞ 0 x e - x 2   d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ - ∞ 0 x e - x 2   d x = lim A → - ∞ ⁡ ∫ A 0 x e - x 2   d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente usando a substituição

u = x 2 d u = 2 x   d x ⇒ x   d x = d u 2

E substituindo os limites de integração

u 0 = 0 u A = A 2

lim A → - ∞ ⁡ ∫ A 0 x e - x 2   d x = lim A → - ∞ ⁡ 1 2 ∫ A 2 0 e - u   d u

= lim A → - ∞ ⁡ 1 2 - e - u A 2 0 = lim A → - ∞ ⁡ 1 2 - 1 e u A 2 0

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

lim A → - ∞ ⁡ 1 2 - 1 e u A 2 0 = lim A → - ∞ ⁡ 1 2 - 1 e 0 + 1 e A 2

Para A → - ∞ temos que A 2 → + ∞ e e A 2 → + ∞ , portanto a segunda fração vai zerar no limite e temos

lim A → - ∞ ⁡ 1 2 - 1 1 + 1 e A 2 = - 1 2

Resposta

- 1 2

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