Esboce o gráfico de

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

onde

f t = 0 s e   t ≤ 0 1 s e   0 < t ≤ 1 1 t s e   t > 1

Passo 1

Primeiramente, vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em três etapas, para x ≤ 0 , para   0 < x ≤ 1 e x > 1 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x ≤ 0

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ x 0   d t = 0

Se 0 < x ≤ 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ 0 0   d t + ∫ 0 x 1   d t

= ∫ 0 x 1   d t = t 0 x

= x

No caso particular x = 1

∫ 0 1 1   d t = 1

Se x > 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ 0 0   d t + ∫ 0 1 1   d t + ∫ 1 x 1 t   d t

= 1 + ln ⁡ t 1 x = 1 + ln ⁡ x + ln ⁡ 1

= 1 + ln ⁡ x

Podemos então definir a função como

F x = 0 s e   x ≤ 0 x s e   0 < x ≤ 1 1 + ln ⁡ x s e   x > 1

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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