Calcule

∫ 0 1 x 1 - x 2   d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 1 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

∫ 0 1 x 1 - x 2   d x = lim t → 1 ⁡ ∫ 0 t x 1 - x 2   d x

Passo 2

Agora vamos calcular a integral normalmente, fazendo a substituição

u = 1 - x 2 d u = - 2 x   d x ⇒ x   d x = - d u 2

Esquecendo os limites de integração por enquanto

∫ x 1 - x 2   d x = - 1 2 ∫ d u u

= - 1 2 ∫ u - 1 / 2   d u = - 1 2 u 1 / 2 1 / 2 + C

= - u + C

Voltando a variável

= - 1 - x 2 + C

Retornando ao limite

lim t → 1 ⁡ ∫ 0 t x 1 - x 2   d x = lim t → 1 ⁡ - 1 - x 2 0 t

Passo 3

Substituindo os limites de integração

lim t → 1 ⁡ - 1 - x 2 0 t = lim t → 0 ⁡ - 1 - t 2 + 1 - 0

= 1

Resposta

1

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