Seja f: R -> R contínua com f(3) = 4 . Seja

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. g ( x , y , z ) = ∫ 0 x + y 2 + z 4 f t d t

Calcule:

a) (∂g/∂x)(1,1, 1)

b) ∂g/∂y (1,1, 1)

c) (∂g/∂z)(1,1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função g x , y , z e nos pede para calcularmos as suas derivadas no ponto dado.

O foda desta questão é que g x , y , z é apresentada de forma esquisitíssima: é dada pela integral de uma questão desconhecida!!

Sem dúvida, esta é um a questão daquelas desafiadoras. Ela requer que você saiba manipular muito bem derivadas e também usar a definição de integral com precisão.

Passo 2

Para ∂ g ∂ x é simples: basta derivar a g em x !

∂ g ∂ x x , y , z = ∂ ∂ x ∫ 0 x + y 2 + z 4 f t d t

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma integral toda loka?

Bem, neste ponto devemos nos lembrar muito bem da definição de integral, ou seja:

∫ a b f x d x = F b - F a

Lembra desta definição lá da infância do cálculo? Pois bem, você já deve ter ouvido 1000 vezes o professor falar que, se d F d x x = f x , então a integral da f é dada por isso aí encima.

Isto facilita um pouco pra nós. Veja, agora podemos escrever

∂ g ∂ x x , y , z = ∂ ∂ x F x + y 2 + z 4 - F 0

Mas, como F 0 é só uma número constante, temos que

∂ g ∂ x x , y , z = ∂ ∂ x F x + y 2 + z 4

A expressão continua esquisita... temos a F x + y 2 + z 4 sendo derivada em relação a algo que não é x + y 2 + z 4 . Vamos mudar isso agora pela regra da cadeia!

∂ ∂ x F x + y 2 + z 4 = ∂ ∂ x + y 2 + z 4 F x + y 2 + z 4 ∂ ∂ x x + y 2 + z 4

Mas perai! Se chamarmos w = x + y 2 + z 4 , o que temos aqui é nada mais do que ∂ F w ∂ w . Lembra do seu primeiro professor de cálculo? Seguramente ele estaria gritando pra você agora que isso aí é exatamente igual à f w , ou seja, f x + y 2 + z 4 ! Ou, seja, descobrimos que

∂ g ∂ x x , y , z = f x + y 2 + z 4 ∂ ∂ x x + y 2 + z 4 ⏟ = 1

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ x no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = f 1 + 1 2 + 1 4 = f 3

Mas f 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = 4

Passo 3

Para ∂ g ∂ y é simples: basta derivar a g em y !

∂ g ∂ y x , y , z = ∂ ∂ y ∫ 0 x + y 2 + z 4 f t d t

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma integral toda loka?

Bem, neste ponto devemos nos lembrar muito bem da definição de integral, ou seja:

∫ a b f x d x = F b - F a

Lembra desta definição lá da infância do cálculo? Pois bem, você já deve ter ouvido 1000 vezes o professor falar que, se d F d x x = f x , então a integral da f é dada por isso aí encima.

Isto facilita um pouco pra nós. Veja, agora podemos escrever

∂ g ∂ y x , y , z = ∂ ∂ y F x + y 2 + z 4 - F 0

Mas, como F 0 é só uma número contante, temos que

∂ g ∂ y x , y , z = ∂ ∂ y F x + y 2 + z 4

A expressão continua esquisita... temos a F x + y 2 + z 4 sendo derivada em relação a algo que não é x + y 2 + z 4 . Vamos mudar isso agora pela regra da cadeia!

∂ ∂ y F x + y 2 + z 4 = ∂ ∂ x + y 2 + z 4 F x + y 2 + z 4 ∂ ∂ y x + y 2 + z 4

Mas perai! Se chamarmos w = x + y 2 + z 4 , o que temos aqui é nada mais do que ∂ F w ∂ w . Lembra do seu primeiro professor de cálculo? Seguramente ele estaria gritando pra você agora que isso aí é exatamente igual à f w , ou seja, f x + y 2 + z 4 ! Ou, seja, descobrimos que

∂ g ∂ y x , y , z = f x + y 2 + z 4 ∂ ∂ y x + y 2 + z 4 ⏟ = 2 y

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ y no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = f 1 + 1 2 + 1 4 2 = 2 f 3

Mas f 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = 8

Passo 4

Para ∂ g ∂ z é simples: basta derivar a g em x !

∂ g ∂ z x , y , z = ∂ ∂ z ∫ 0 x + y 2 + z 4 f t d t

Oooops! Não tão simples pelo visto! E agora? Como se faz para derivar uma integral toda loka?

Bem, neste ponto devemos nos lembrar muito bem da definição de integral, ou seja:

∫ a b f x d x = F b - F a

Lembra desta definição lá da infância do cálculo? Pois bem, você já deve ter ouvido 1000 vezes o professor falar que, se d F d x x = f x , então a integral da f é dada por isso aí encima.

Isto facilita um pouco pra nós. Veja, agora podemos escrever

∂ g ∂ z x , y , z = ∂ ∂ z F x + y 2 + z 4 - F 0

Mas, como F 0 é só uma número contante, temos que

∂ g ∂ z x , y , z = ∂ ∂ z F x + y 2 + z 4

A expressão continua esquisita... temos a F x + y 2 + z 4 sendo derivada em relação a algo que não é x + y 2 + z 4 . Vamos mudar isso agora pela regra da cadeia!

∂ ∂ z F x + y 2 + z 4 = ∂ ∂ x + y 2 + z 4 F x + y 2 + z 4 ∂ ∂ z x + y 2 + z 4

Mas perai! Se chamarmos w = x + y 2 + z 4 , o que temos aqui é nada mais do que ∂ F w ∂ w . Lembra do seu primeiro professor de cálculo? Seguramente ele estaria gritando pra você agora que isso aí é exatamente igual à f w , ou seja, f x + y 2 + z 4 ! Ou, seja, descobrimos que

∂ g ∂ z x , y , z = f x + y 2 + z 4 ∂ ∂ z x + y 2 + z 4 ⏟ = 4 z 3

Agora sim! Eu te pergunto: Quanto vale ∂ g ∂ z no ponto 1,1 , 1 ? É só substituir:

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = f 1 + 1 2 + 1 4 4 = 4 f 3

Mas f 3 está dada no próprio enunciado e é igual a 4. Logo:

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = 16

Resposta

∂ g ∂ x 1,1 , 1 = 4

∂ g ∂ y 1,1 , 1 = 8

∂ g ∂ z 1,1 , 1 = 16

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