Calcule

∫ - 1 2 1 4 - x 2   d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 2 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

∫ - 1 2 1 4 - x 2   d x = lim t → 2 ⁡ ∫ - 1 t 1 4 - x 2   d x

Passo 2

Agora vamos calcular a integral normalmente, usando a expansão por frações parciais, focando somente na fração no início

1 4 - x 2 = A 2 - x + B 2 + x = A 2 + x + B 2 - x 4 - x 2

Então temos a igualdade

A 2 + x + B 2 - x = 1

A - B x + 2 A + 2 B = 1

Por igualdade de polinômios temos o sistema

A - B = 0 ⇒ A = B 2 A + B = 1

Substituindo a primeira expressão na segunda-feira

2 A + A = 1

4 A = 1

A = B = 1 4

Então

1 4 - x 2 = 1 4 1 2 - x + 1 2 + x

Na integral

lim t → 2 ⁡ ∫ - 1 t 1 4 - x 2   d x = lim t → 2 ⁡ 1 4 ∫ - 1 t 1 2 - x   d x + ∫ - 1 t 1 2 + x   d x

= lim t → 2 ⁡ 1 4 - ln ⁡ 2 - x + ln ⁡ 2 + x - 1 t

Passo 3

Substituindo os limites de integração

= lim t → 2 ⁡ 1 4 - ln ⁡ 2 - t + ln ⁡ 2 + t + ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 2 - 1

No primeiro logaritmo, quando t → 2 , ( 2 - t ) → 0 e

lim t → 0 ⁡ ln ⁡ t = - ∞

Logo, como todos os outros logaritmos assumem valores reais e finitos

lim t → 2 ⁡ 1 4 - ln ⁡ 2 - t + ln ⁡ 2 + t + ln ⁡ 2 + 1 - ln ⁡ 2 - 1 = + ∞

Resposta

+ ∞

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