Enunciado

Calcule

int_(- 1)^2 (1)/(4 - x^2) d x

Passo 1

A função a ser integrada, não é definida em x = 2 , então se trata de uma integral imprópria, para calcularmos, vamos primeiramente aplicar o limite

int_(- 1)^2 (1)/(4 - x^2) d x = underset(t -> 2)(lim) int_(- 1)^t (1)/(4 - x^2) d x

Passo 2

Agora vamos calcular a integral normalmente, usando a expansão por frações parciais, focando somente na fração no início

(1)/(4 - x^2) = (A)/(2 - x) + (B)/(2 + x) = (A (2 + x) + B (2 - x))/(4 - x^2)

Então temos a igualdade

A (2 + x) + B (2 - x) = 1

(A - B) x + (2 A + 2 B) = 1

Por igualdade de polinômios temos o sistema

{[[A - B = 0 => A = B],[2 (A + B) = 1]])

Substituindo a primeira expressão na segunda-feira

2 (A + A) = 1

4 A = 1

A = B = (1)/(4)

Então

(1)/(4 - x^2) = (1)/(4) ((1)/(2 - x) + (1)/(2 + x))

Na integral

underset(t -> 2)(lim) int_(- 1)^t (1)/(4 - x^2) d x = underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [int_(- 1)^t (1)/(2 - x) d x + int_(- 1)^t (1)/(2 + x) d x]

= underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [- ln (2 - x) + ln (2 + x)]_(- 1)^t

Passo 3

Substituindo os limites de integração

= underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [- ln (2 - t) + ln (2 + t) + ln (2 + 1) - ln (2 - 1)]

No primeiro logaritmo, quando t -> 2 , ( 2 - t ) -> 0 e

underset(t -> 0)(lim) ln t = - oo

Logo, como todos os outros logaritmos assumem valores reais e finitos

underset(t -> 2)(lim) (1)/(4) [- ln (2 - t) + ln (2 + t) + ln (2 + 1) - ln (2 - 1)] = + oo

Resposta

+ oo

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. ∫ 0 π sen 2 ⁡ x x d x
A integral ∫ 0 ∞ 1 x 1 + x d x é imprópria por duas razões: o intervalo 0 , ∞ é infinito e o integrando tem uma descontinuidade infinita em 0 . Calcule-a expressando-a como uma soma de integrais impró
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. ∫ 0 1 sec 2 ⁡ x x x d x
Calculeb) int_(- 1)^x f (t) d t ondef (t) = {[[t^2 s e - 1 = t = 1],[2 s e t1]])
Calculed)int_0^x f (t) d t ondef (t) = {[[1 s e 0 = t1],[2 s e 1 = t2],[3 s e t = 2]])