É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 2 ∞ 1 x 4 + 2 x + 1 3   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Note que, para x ≥ 2 :

x 4 + 2 x + 1 ≥ x 4

Assim,

x 4 + 2 x + 1 3 ≥ x 4 3

Ou ainda,

1 x 4 + 2 x + 1 3 ≤ 1 x 4 3

Passo 2

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ 1 x α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 4 / 3 , de modo que a integral

∫ 2 ∞ 1 x 4 / 3   d x

é convergente.

Passo 3

Por fim, como temos que

1 x 4 + 2 x + 1 3 ≤ 1 x 4 3

E a integral

∫ 2 ∞ 1 x 4 / 3   d x

converge, segue pelo critério da comparação que a integral

∫ 2 ∞ 1 x 4 + 2 x + 1 3   d x

também será convergente!

Resposta

Converge.

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