Enunciado

Calcule ∫ ∫ D y + 2 x y - 2 x - 1 d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por y - 2 x = 2 , y + 2 x = 2 , y - 2 x = 1 e y + 2 x = 1 .

Passo 1

Bom galera, a gente precisa calcular a área da região D . Vamos começar mudando as variáveis na integral dupla, que é bem assim:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y u , v ∂ x , y ∂ u , v   d u d v

Onde usaremos:

u = y + 2 x

v = y - 2 x

Para podermos substituir dentro da equação que vai ser integrada.

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ u , v = det ⁡ ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v

Mas pra facilitar vamos usar o inverso disso:

1 ∂ x , y ∂ u , v = ∂ u , v ∂ x , y = det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y

Então, colocamos os valores:

det ⁡ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y = det ⁡ 2 1 - 2 1 = 4

Logo usaremos o inverso disso:

∂ x , y ∂ u , v = 1 4

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q y + 2 x y - 2 x - 1 ⋅ 1 4 d u d v

Substituimos as variáveis:

A = ∫ ∫ Q u v - 1 ⋅ 1 4 d u d v

A = 1 4 ∫ ∫ Q u v - 1 d u d v

Passo 4

Então, delimitamos nossa região:

Onde nossa região D é delimitada por:

y + 2 x = 2

y - 2 x = 2

y + 2 x = 1

y - 2 x = 1

E a gente tem as equações:

y + 2 x = u

y - 2 x = v

Então nossa região em Q fica:

y + 2 x = 2 → u = 2

y - 2 x = 2 → v = 2

y + 2 x = 1 → u = 1

y - 2 x = 1 → v = 1

Logo podemos escrever assim:

1 ≤ v ≤ 2

1 ≤ u ≤ 2

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = 1 4 ∫ 1 2 ∫ 1 2 u v - 1 d u d v

Integramos a primeira vez:

A = 1 4 ∫ 1 2 u 2 2 v - 1 1 2 d v

= 1 4 ∫ 1 2 2 2 2 v - 1 - 1 2 2 v - 1 d v

= 1 4 ∫ 1 2 4 2 v - 1 - 1 2 v - 1 d v

= 1 4 ∫ 1 2 3 2 v - 1 d v

= 1 4 ⋅ 3 2 ∫ 1 2 1 v - 1 d v

= 3 8 ∫ 1 2 v - 1 - 1 2   d v

E integramos denovo:

A = 3 8 ⋅ v v - 1 + v - 2 v - 1 1 2

= 3 8 ⋅ 2 1 + 0 1 - 1 0 + - 1 0

= 3 8 ⋅ 2 = 3 4

E prontinho. 😊

Resposta

A = 3 4

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Calcule ∫ ∫ D 2 x + 1d x d y , onde D é a região no primeiro quadrante do plano x y limitada por y = x 2 , y = x 2 + 1 , x + y = 1 e x + y = 2 .
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Calcue ∫ ∫ D cos ⁡ x - y x + y d x d y , onde D é a região do plano x y limitada por x + y = 1 , x = 0 e y = 0 .
Considere a aplicação g definida pelas equações x = u + v e y = v - u 2 Utilizando g , calcule ∫ ∫ D x - y + 1 4 - 1 2 d x d y , onde D é a imagem no plano x y da região Q no plano u v limitada pelas
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ x e x 3 x y 2d yd x