Enunciado

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ x e x 3 x y 2   d y   d x

Passo 1

Fala pessoa, tudo certo? Precisamos calcular uma integral dupla do tipo:

∫ 0 1 ∫ x e x 3 x y 2   d y   d x

E como fazemos isso?

Ora, iremos calcular primeiramente a integral de “dentro” e depois iremos calcular a integral de “fora”. Perceba que ao calcular a integral em relação a d x irei considerar y como constante e vice versa. Quer ver? Vamos para o próximo passo.

Passo 2

Sendo assim, teremos

∫ 0 1 ∫ x e x 3 x y 2   d y   d x

Calculando a integral ‘de dentro’ teremos

∫ x e x 3 x y 2   d y = 3 x y 3 3 x e x = x e 3 x - x 4

Continuando nossa integração teremos

∫ 0 1 x e 3 x - x 4   d x

2

1

∫ 0 1 x e 3 x - x 4   d x =   ∫ 0 1 x e 3 x d x - ∫ 0 1 x 4   d x

A segunda integral será: x 5 5 0 1

Pra resolver a primeira integral vamos utilizar a integração por partes. Fazendo:

1

∫ 0 1 x e 3 x d x

Lembrando que:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos fazer a seguinte alteração ode variável:

u = x               d u = 1   d x d v = e 3 x         v = e 3 x 3

Montando a integral:

x e 3 x 3 - ∫ e 3 x 3   d x

Resolvendo a integral:

∫ e 3 x 3   d x = 1 9 e x  

Juntando todos os resultados temos:

x e 3 x 3 - 1 9 e 3 x - x 5 5 0 1 = e 3 3 - e 3 9 - 1 5 - 1 9

Aproximadamente:

4,3745

Prontinho, tá resolvido nosso problema. Até que foi fácil, né?

Resposta

2 9 e 3 - 4 45

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