Enunciado

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_x^(e^x) 3 x y^2 d y d x

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d y d x ' vamos integrar primeiro em y e depois em x , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a v a r i á v e l x ) vamos considerar y como uma constante e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Sendo assim, teremos

int_0^1 int_x^(e^x) 3 x y^2 d y d x

Calculando a integral ‘de dentro’ teremos

int_x^(e^x) 3 x y^2 d y = [(3 x y^3)/(3)]_x^(e^x) = x e^(3 x) - x^4

Continuando nossa integração teremos

int_0^1 x e^(3 x) - x^4 d x

Pra resolver essa integral vamos utilizar a integração por partes. Fazendo

{(f = x -> f^' = 1)/(g^' = e^(3 x) -> g = (e^(3 x))/(3)))

int_0^1 x e^(3 x) - x^4 d x = [(x e^(3 x))/(3)]_0^1 - int_0^1 (e^(3 x))/(3) d x - [(x^5)/(5)]_0^1 =

int_0^1 x e^(3 x) - x^4 d x = (e^3)/(3) - [(e^(3 x))/(9)]_0^1 - (1)/(5) = (2)/(9) e^3 - (4)/(45)

Prontinho, tá resolvido nosso problema. Até que foi fácil, né?

Resposta

(2)/(9) e^3 - (4)/(45)

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