Calcule f'(x) .

f(x) = x^2 \* ln(x) + 2 \* e^x

Passo 1

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f ' ( x ) = x 2 ln ⁡ x + 2 e x ' = x 2 ln ⁡ x ' + ( 2 e x ) '

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da multiplicação por constante, da função logarítmica natural e da função exponencial:

x n ' = n x n - 1

k f x ' = k f ' ( x )

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

Passo 3

Na primeira vamos usar a regra do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Temos que:

h x = x 2

e

g x = ln ⁡ x

Assim:

x 2 ln ⁡ x ' = h ' x g x + g ' x h x = x 2 ' ln ⁡ x + ln ⁡ x ' x 2

Passo 4

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

h ' ( x ) = x 2 ' = 2 x 2 - 1 = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função logarítmica natural:

g ' x = ln ⁡ x ' = 1 x ⋅ x ' = 1 x ⋅ x 1 - 1 = 1 x ⋅ x 0 = 1 x ⋅ 1 = 1 x

Juntando:

x 2 ln ⁡ x ' = x 2 ' ln ⁡ x + ln ⁡ x ' x 2 = 2 x ln ⁡ x + 1 x x 2 = 2 x ln ⁡ x + x

Passo 5

Agora vamos usar a regra da multiplicação por constante e da função exponencial:

2 e x ' = 2 e x ' = 2 e x . x ' = 2 e x . x 1 - 1 = 2 e x . x 0 = 2 e x . 1 = 2 e x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = x 2 ln ⁡ x ' + 2 e x ' = 2 x ln ⁡ x + x + 2 e x

Resposta

f ' ( x ) = 2 x ln ⁡ x + x + 2 e x

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