Calcule.

∫ arctg ⁡ x d x

Passo 1

Vamos usar uma substituição:

u = x

d u = 1 2 x d x

Vamos substituir agora:

∫ arctg ⁡ x d x = ∫ arctg ⁡ u 2 x d u = ∫ 2 u arctg ⁡ u d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

Temos que:

w = arctg ⁡ u e d w = 1 1 + u 2 d u

d v = 2 u d u e v = u 2

Substituindo:

∫ 2 u arctg ⁡ u d u = u 2 arctg ⁡ u - ∫ u 2 1 + u 2 d u = u 2 arctg ⁡ u - ∫ - 1 1 + u 2 + 1 d u

Passo 3

É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 1 + x 2 d x = arctg ⁡ x + C

∫ k   d x = k x + C

Assim vamos ficar com:

∫ 2 u arctg ⁡ u d u = u 2 arctg ⁡ u - ∫ - 1 1 + u 2 + 1 d u = u 2 arctg ⁡ u - - arctg ⁡ u + u + C = u 2 arctg ⁡ u + arctg ⁡ u - u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 2 u arctg ⁡ u d u = u 2 arctg ⁡ u + arctg ⁡ u - u + C = x 2 arctg ⁡ x + arctg ⁡ x - x + C = x arctg ⁡ x + arctg ⁡ x - x + C

Resposta

∫ arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x + arctg ⁡ x - x + C

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