Calcule a integral.

10 . ∫ 0 2 3 4 - 9 x 2 d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Em situações do tipo da nossa questão e da tabela abaixo, é interessante utilizar de substituições trigonométricas para resolver:

Passo 2

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, como comentado:

x = 2 3 sin ⁡ θ

Utilizando do arco seno:

⇒ θ = sin - 1 ⁡ 3 2 x

d x = 2 3 cos ⁡ θ d θ

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

θ 1 = sin - 1 ⁡ ( 0 ) = 0

θ 2 = sin - 1 ⁡ 3 2 2 3 = π 2

Passo 3

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ 0 π 2 4 - 9 2 3 sin ⁡ θ 2   2 3 cos ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 2 4 - 9 4 9 sin 2 ⁡ θ   2 3 cos ⁡ θ d θ

= 2 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ 4 - 4 sin 2 ⁡ θ d θ

= 2 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ 2 1 - sin 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Logo, temos que:

= 4 3 ∫ 0 π 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 4 3 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Para continuar nossa integração, temos que modificar nosso integrando, vamos fazer isso com a seguinte propriedade:

cos 2 ⁡ θ = 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2

Então temos que:

4 3 ∫ 0 π 2 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 4 3 ∫ 0 π 2 1 2 d θ + ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Continuando nossa integração.

4 3 1 2 θ 0 π 2 + 1 2 sin ⁡ 2 θ 2 0 π 2

= 4 3 1 2 π 2 - 0 + 1 4 sin ⁡ π - sin ⁡ 0

= 4 3 π 4 = π 3

Resposta

∫ 0 2 3 4 - 9 x 2 d x = π 3

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