Calcule a integral.

1 2 . ∫ 0 2 d t 4 + t 2

Passo 1

Para resolver essa integral teremos que fazer uma substituição trigonométrica, segundo a tabela no início da seção 3 , do tipo:

t = 2 tan ⁡ θ

⇒ θ = ta n - 1 ⁡ x 2

d t = 2 s ec 2 ⁡ θ d θ

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

θ 1 = ta n - 1 ⁡ ( 0 ) = 0

θ 2 = sin - 1 ⁡ 1 = π 4

Passo 2

Realizando a substituição a nossa integral fica:

∫ 0 π 4 2 sec 2 ⁡ θ 4 + ( 2 tan ⁡ θ ) 2   d θ

= ∫ 0 π 4 2 sec 2 ⁡ θ 4 + 4 tan 2 ⁡ θ   d θ

= 2 ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ 2 1 + tan 2 ⁡ θ   d θ

Lembrando que:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Logo, temos que:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ 0 π 4 sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Para continuar essa integração, vamos fazer um pequeno truque para facilitar nossa vida.

Vamos multiplicar nosso integrando, encima e embaixo por:

tan ⁡ θ + s e c θ

Então temos o seguinte:

∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ θ + sec ⁡ θ tan ⁡ θ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ d θ

Você deve estar se perguntando para que fazer isso, só deixou a integral mais feia, mas é o seguinte, a integral dessa forma nos abre espaço para fazer uma outra substituição, que é a seguinte:

s = tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

d s = sec 2 ⁡ θ + tan ⁡ θ sec ⁡ θ

Com isso nossos limites de integração também mudam, ficando assim:

s 1 = tan ⁡ 0 + sec ⁡ 0 = 1

s 2 = tan ⁡ π 4 + sec ⁡ π 4 = 1 + 2

Passo 4

Realizando a substituição, nossa integral fica:

∫ 1 1 + 2 1 s   d s

= ln ⁡ s 1 1 + 2

= ln ⁡ 1 + 2 - 0

= ln ⁡ 1 + 2

Resposta

∫ 0 2 d t 4 + t 2 = ln ⁡ 1 + 2

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