Enunciado

Calcule a área de interseção da região limitada pelas curvas:

ρ = cos ⁡ θ

ρ =   √ s e n ( θ )

ρ ≥ 0

Passo 1

Antes de começarmos o desenvolvimento, temos que prestar atenção no domínio das funções, visto que devido a raiz quadrada, só podemos pegar intervalos de seno e cosseno positivos (primeiro quadrante). Além disso, só podemos trabalhar com o raio positivo.

Primeiramente, vamos igualar as funções para descobrir o ponto de interseção entre elas:

cos ⁡ θ =   s e n θ

cos ⁡ θ = s e n θ

Sabemos que θ = π 4 satisfaz a equação acima

Passo 2

Para facilitar a vizualização, vizualizaremos os gráficos superpostos.

Podemos notar que a área entre os gráficos é a área do gráfico roxo de π 4 até π 2 mais a área do gráfico preto de 0 até π 4

Passo 3

Sabemos que a fórmula para a área em coordenadas polares é:

0,5 ∫ a b ρ ² d θ

Aplicando os limites de integração:

0,5 ∫ π 4 π 2 |   cos ⁡ θ |   d θ   + 0,5 ∫ 0 π 4 |   s e n ( θ ) |   d θ

Resolvendo a integral simples:

0,5 ∫ π 4 π 2 |   cos ⁡ θ |   d θ   + 0,5 ∫ 0 π 4 |   s e n ( θ ) |   d θ = 1 - 2 2

Resposta

A área vale 1 - 2 2

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Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ = c o s ² ( θ ) ²
Passe a curva para coordenadas polares e desenhe-a:(x²+y²)² = x² - y²
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ ² = tg( θ ) , 0≤ θ π 2 ( ρ ≥ 0 )
Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhe-a:x4 – y4 = 2xy
Desenhe a curva a seguir utilizando coordenadas polares ρ ² = t g ( 2 θ ) ² , 0 ≤θπ 4( p ≥ 0 )