Calcule

q )   ∫ x 2 sin ⁡ x d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u w   e   v w podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = x 2 → d u = 2 x d x   e   v = - cos ⁡ x → d v = sin ⁡ x d x

Assim:

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x - - ∫ 2 x cos ⁡ x d x

= - x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x d x

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x d x

Vamos ter outra integração por partes:

∫ x cos ⁡ x d x

Vamos usar novamente:   u = x → d u = d x   e   v = sin ⁡ x → d v = cos ⁡ x d x

∫ x cos ⁡ x d x = x sin ⁡ x - ∫ sin ⁡ x d x =

∫ x cos ⁡ x d x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Agora substituindo:

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + cos ⁡ x

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x

Não esquecendo da constante:

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + k

Resposta

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x + k

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