Enunciado

Calcule a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x , do gráfico da função dada.

d )   y = x ,     1 ≤ x ≤ 4

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve a área de superfície, como sabemos ela é:

∫ a b 2 π f x 1 + d f x d x 2 d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d ( x ) d x = 1 2 x

Agora substituímos:

∫ 1 4 2 π x 1 + 1 2 x 2 d x = ∫ 1 4 2 π x 1 + 1 4 x d x

Passo 2

∫ 1 4 2 π x 1 + 1 4 x d x = ∫ 1 4 2 π x 4 x + 1 4 x d x = ∫ 1 4 2 π x × 4 x + 1   4 x   d x =

∫ 1 4 2 π x × 4 x + 1   2 x   d x = π ∫ 1 4 4 x + 1     d x =

A partir daqui é mais tranquilo, fazemos a substituição:

u = 4 x + 1 → d u = 4 d x

π 4 ∫ 5 17 u     d u = π 4 2 3 u 3 2 17 5 = 2 π 12 17 3 2 - 5 3 2   = π 6 17 17 - 5 5  

Resposta

∫ 1 4 2 π x 1 + 1 2 x 2 d x = π 6 17 17 - 5 5

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