Enunciado

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

b ) f (x) = x^2 , 0 <= x <= sqrt(3)

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve o comprimento de superfície, como sabemos ela é:

int_a^b sqrt(1 + [(d (f (x)))/(d x)]^2) d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

(d (f (x)))/(d x) = (d (x^2))/(d x) = 2 x

Agora substituímos:

int_0^(sqrt(3)) sqrt(1 + [2 x]^2) d x = int_0^(sqrt(3)) sqrt(1 + 4 x^2) d x

Repara que essa integral parece complicada de resolver, mas que a raíz dela parece muito com Pitágoras.

Para esse caso vamos considerar o triângulo abaixo:

Repara que se o cateto adjacente for 2x e o cateto oposto for 1, ficamos com hipotenusa igual a sqrt(1 + 4 x^2) . Por consequência tan theta = 2 x e sec theta = sqrt(1 + 4 x^2) ainda vamos ter 2 d x = sec^2 theta d theta

Esse método é chamado de Substituição trigonométrica.

Assim, substituindo teremos:

(1)/(2) int_0^((pi)/(3)) sec theta sec^2 theta d theta

Sabemos que sec^2 theta = (d)/(d x) ( tan theta ) , então podemos usar isso para calcular essa integral com o método de integração por partes

int u d v = u v - int v d u

Vimos que dv é d v = sec^2 theta -> v = tan theta , então u = sec theta -> d u = sec theta tan theta d theta assim vemos que:

int sec theta sec^2 theta d theta = tan theta sec theta - int sec theta tan^2 theta d theta = tan theta sec theta - int sec theta (sec^2 theta - 1) d theta

int sec theta sec^2 theta d theta = tan theta sec theta - int sec theta sec^2 theta d theta + int sec theta d theta

Tem um lance aqui, vemos que apareceu um int sec theta sec^2 theta d theta do lado direito, vamos jogá-lo positivo pro lado esquerdo e podemos somar os termos, ficamos com:

2 int sec theta sec^2 theta d theta = tan theta sec theta + int sec theta d theta

A integral int sec theta d theta tem um resultado tabelado que é:

int sec theta d theta = int (sec theta (sec theta + tan theta))/(sec theta + tan theta) d theta = int ((sec^2 theta + sec theta tan theta))/(sec theta + tan theta) d theta

Se fazemos que u = sec theta + tan theta -> d u = ( sec theta tan theta + sec^2 theta ) d theta

int (1)/(u) d u = ln u = ln |tan theta + sec theta|

Então:

int sec theta sec^2 theta d theta = (1)/(2) [tan theta sec theta + l n |tan theta + sec theta|]

Beleza! Agora só jogar os limites de integração:

Passo 2

(1)/(2) [tan theta sec theta + ln |tan theta + sec theta|] ((pi)/(3))/(0) = (1)/(2) [sqrt(3) xx (2)/(sqrt(3)) + ln |sqrt(3) + (2)/(sqrt(3))| - (ln |1|)] =

= (1)/(2) [2 + ln |(3 + 2 sqrt(3))/(sqrt(3))|]

Resposta

V o l u m e = int_0^(sqrt(3)) sqrt(1 + 4 x^2) d x = (1)/(2) [2 + ln |(3 + 2 sqrt(3))/(sqrt(3))|]

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