Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

b) f(x) = e^x, 0 <= x <= 1

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve o comprimento da curva, como sabemos ela é:

∫ a b 1 + d f x d x 2 d x

Assim a priemira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

d f x d x = d e x d x = e x

Agora substituímos:

∫ 0 1 1 + e x 2 d x = ∫ 0 1 1 + e 2 x d x

Vamos resolver essas integrais!

Passo 2

Vamos aplicar a substituição 2 x = u → 2 d x = d u

∫ 0 2 1 + e u d u 2 = 1 2 ∫ 0 2 1 + e u d u

Outra substituição necessária é: 1 + e u = v 2 → 2 v d v = e u d u , porém reorganizando, vemos que e u = v 2 - 1 → 2 v d v = v 2 - 1 d u → 2 v d v v 2 - 1 = d u , substituindo:

1 2 ∫ 2 1 + e 2 v 2 2 v d v v 2 - 1 = ∫ 2 1 + e 2 v 2 v 2 - 1 d v

Seria muito interessante se tivéssemos o mesmo termo em cima e em baixo, daí cortávamos e tudo ficaria mais fácil, então que tal subtrairmos 1 de cima?

Mas é claro que teremos que somar também, vai ficar assim:

∫ 2 1 + e 2 v 2 v 2 - 1 d v = ∫ 2 1 + e 2 ( ( v 2 - 1 ) + 1 ) v 2 - 1 d v = ∫ 2 1 + e 2 1 d v + ∫ 2 1 + e 2 1 v 2 - 1 d v

Ok, agora temos uma que é fácil de calcular, mas a segunda ainda tá bem estranha, Porém podemos fatorar esse termo:

∫ 2 1 + e 2 1 v 2 - 1 d v = ∫ 2 1 + e 2 1 v - 1 v + 1 d v

E usar a integração por frações parciais:

1 v - 1 v + 1 = A v - 1 + B v + 1 → 1 = A v + 1 + B ( v - 1 )

Para evitar muito algebrismo vamos fazer assim: A gente pega onde cada termo zera e substituímos em v, fica bem mais rápido. No nosso caso temos que zera em v = 1   e   v = - 1

v = 1 → 1 = A 1 + 1 + B 1 - 1 → 1 = 2 A → A = 1 2

v = - 1 → A - 1 + 1 + B - 1 - 1 = 1 → - 2 B = 1 → B = - 1 2

Voltando para integral, teremos:

∫ 2 1 + e 2 1 v - 1 v + 1 d v = 1 2 ∫ 2 1 + e 2 1 v - 1 d v - 1 2 ∫ 2 1 + e 2 1 v + 1 d v =

1 2 ln ⁡ v - 1 - ln ⁡ v + 1 1 + e 2 2 = 1 2 ln ⁡ v - 1 v + 1 1 + e 2 2

= 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 1 + e 2 + 1 - ln ⁡ 2 - 1 2 + 1 = 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 2 + 1 1 + e 2 + 1 2 - 1

Voltando a integral completa:

∫ 2 1 + e 2 1 d v + ∫ 2 1 + e 2 1 v 2 - 1 d v = v 1 + e 2 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 2 + 1 1 + e 2 + 1 2 - 1 =

= 1 + e 2 - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 2 + 1 1 + e 2 + 1 2 - 1 =

Resposta

∫ 0 1 1 + e 2 x d x = 1 + e 2 - 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 - 1 2 + 1 1 + e 2 + 1 2 - 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados