Enunciado

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x

x = 1 3 y 2 + 2 3 2 ,     1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície que é obtida pela rotação da curva x = 1 3 y 2 + 2 3 2 em torno do eixo x , no intervalo [ 1 ,   2 ] .

Primeiro, precisamos lembrar como é a área de uma superfície de revolução, que é da seguinte forma:

S = ∫ c d 2 π y 1 + d x d y 2   d y

Então, vamos primeiro calcular a derivada, d x d y , da curva. Depois, vamos substituir na fórmula para obter nossa área de rotação.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de x = 1 3 y 2 + 2 3 2 , em relação a y :

x ' = d x d y

d x d y = 1 3 ∙ 3 2 y 2 + 2 1 2 2 y

Simplificando:

d x d y = y y 2 + 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o termo da raiz, substituindo a derivada que encontramos no passo anterior:

1 + d x d y 2 = 1 + y 2 y 2 + 2

Aplicando a distributiva no produto:

1 + y 4 + 2 y 2

Fatorando:

= y 2 + 1 2

E simplificando:

= y 2 + 1

Passo 4

Agora, podemos calcular S , só substituirmos o que já encontramos nos passos anteriores:

S = ∫ 1 2 2 π y y 2 + 1 d y

Colocando a constante do lado de fora da integral:

= 2 π ∫ 1 2 y y 2 + 1 d y

Aplicando a distributiva:

= 2 π ∫ 1 2 y 3 + y d y

E integrando, temos:

= 2 π 1 4 y 4 + 1 2 y 2 1 2

Agora aplicando os limites de integração:

= 2 π 4 + 2 - 1 4 - 1 2

E calculando, teremos a nossa área:

S = 21 π 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = 21 π 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x y = x 3 6 + 1 2 x , 1 2 ≤ x ≤ 1
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante x = a 2 - y 2 , 0 ≤ y ≤ a / 2
Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = 1 x , 1 ≤ x ≤ 2
Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = x 2 + 1 , 0 ≤ x ≤ 3