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Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 8.2 - Ex. 17

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Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora

y = ln ⁡ x ,     1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Primeiro, vamos diferenciar a função y , pra isso

y ' = d y d x = 1 x

Então, agora faremos

1 + y ´ 2 = 1 + 1 x 2

Agora, colocando na integral, temos

S = ∫ 1 3 2 π ln ⁡ x 1 + 1 x 2   d x

Vamos dizer que

f x = 2 π ln ⁡ x 1 + 1 x 2

Passo 2

Pela regra de Simpson, temos que

∆ x = 3 - 1 10 = 1 5 = 0,2

Então, podemos calcular a integral

S ≈ S 10 ≈ 1 5 3 f 1 + 4 f 1,2 + 2 f 1,4 + … + 2 f 2,6 + 4 f 2,8 + f 3 ≈ 9,023754

Passo 3

Utilizando uma calculadora gráfica, vemos que o valor da integral é S ≈ 9,024262

Resposta

S ≈ 9,023754

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