Enunciado

Verifique se underset(x -> 1)(lim) (1)/(x - 1) existe.

Passo 1

Para verificar se o limite da função existe quando x -> 1 precisamos analisar seus limites laterais, x -> 1^+ e x -> 1^- .

Para o limite dado de x -> 1^+ , estamos analisando a função da direita para a esquerda ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x > 1 .

Assim, podemos escrever que:

underset(x -> 1^+)(lim) (1)/(x - 1) = + oo

Esse resultado pode ser concluído pensando que quando dividimos um número por outro muito pequeno o resultado da divisão tende a ser um número grande, por exemplo (1)/(0,001) = 1000 . Agora, pense que você está dividindo algo por um valor infinitesalmente pequeno, o resultado da divisão será infinitesalmente grande, logo infinito, e o sinal de mais se deve por estarmos analisando x -> 1^+ .

Passo 2

De forma análoga, para o limite dado de x -> 0^- , estamos analisando a função da esquerda para a direita ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x < 0 .

Assim, podemos escrever que:

underset(x -> 1^-)(lim) (1)/(x - 1) = - oo

O pensamento para concluir o resultado deve ser o mesmo do passo anterior.

Passo 3

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que underset(x -> 1)(lim) (1)/(x - 1) não existe.

underset(x -> 1)(lim) (1)/(x - 1) ∄

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0 + ⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0 - ⁡ f x
Determine limites à direita e à esquerda da função f x =a r c t g 1 x quando x → 0 .