Verifique se lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 existe.

Passo 1

Para verificar se o limite da função existe quando x → 1 precisamos analisar seus limites laterais, x → 1 + e x → 1 - .

Para o limite dado de x → 1 + , estamos analisando a função da direita para a esquerda ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x > 1 .

Assim, podemos escrever que:

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 ⁡ = + ∞

Esse resultado pode ser concluído pensando que quando dividimos um número por outro muito pequeno o resultado da divisão tende a ser um número grande, por exemplo 1 0,001 = 1000 . Agora, pense que você está dividindo algo por um valor infinitesalmente pequeno, o resultado da divisão será infinitesalmente grande, logo infinito, e o sinal de mais se deve por estarmos analisando x → 1 + .

Passo 2

De forma análoga, para o limite dado de x → 0 - , estamos analisando a função da esquerda para a direita ao longo do eixo x , logo estamos analisando os valores para x < 0 .

Assim, podemos escrever que:

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 ⁡ = - ∞

O pensamento para concluir o resultado deve ser o mesmo do passo anterior.

Passo 3

Como os limites laterais são diferentes, concluímos que lim x → 1 ⁡ 1 x - 1     não existe.

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 ∄

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

lim x → a ⁡ f x = L     s e   e   s o m e n t e   s e   lim x → a + ⁡ f x = L   e   lim x → a - ⁡ f x = L .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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