Calcule, caso exista.

g) lim(x, y)->(0,0) (xy)/(y-x^3)

Passo 1

Para resolver essa questão a primeira coisa que faremos é tentar substituir os limites de integração diretamente na função e ver se é possível calcular esse limite. Assim

l i m x , y → 0,0 x y y - x 3 = 0 ⋅ 0 0 - 0 = 0 0

O que nos deu uma indeterminação. Então vamos tentar mexer um pouco nessa função pra ver se conseguimos um outro jeito de calcular esse limite.

Passo 2

Podemos colocar o y em evidência no denominador. Assim

l i m x , y → 0,0 x y y - x 3 = l i m x , y → 0,0 x y y 1 - x 3 y

Cortando y , nosso limite se transforma em:

l i m x , y → 0,0 x 1 - x 3 y

Agora aplicamos o limite novamente:

l i m x , y → 0,0 x 1 - x 3 y = 0 1 - 0 3 0 = 0 1 = 0

Perceba que no termo 0 3 0 , o numerado vai a zero muito mais rápido que o denominador, por isso essa parte vai a zero.

Resposta

l i m x , y → 0,0 x y y - x 3   = 0

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