Calcule, lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2

Passo 1

Considere um caminho qualquer γ t = γ 1 t , γ 2 t ,   que satisfaça a coisa:   γ 0 = 0,0 ,   somente neste ponto . Lembre de um resultado que vimos, que se l i m t → t 0   f γ t = L , para qualquer γ t , sobe aquelas condições todas, então , lim x , y → x 0 , x 0 ⁡ f x , y = L . Então, vamos tentar usar essa informação.

Daí,

l i m t → 0   f γ t =   l i m t → 0 s e n   γ 1 t 2 + γ 2 t 2   γ 1 t 2 + γ 2 t 2

Perceba que o argumento do seno e o denominador estão em função de uma variável, é como se estivéssemos calculando o l i m u → 0 s e n u u , que é um limite fundamental e que a gente já conhece.

l i m t → 0   f γ t =   l i m t → 0 s e n   γ 1 t 2 + γ 2 t 2   γ 1 t 2 + γ 2 t 2 = 1

Usando o que pensamos lá em cima...

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1  

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

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