Enunciado

Calcule o centro de massa da Semi-esfera homogênia x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 e z ≥ 0   ( R > 0 ) .

Passo 1

centro de massa é calculado tomando a seguinte relação

s C = ∭ B s   d m ∭ B d m

Onde s é nossa coordenada x , y , z .

Mas vamos agora aplicar

Passo 2

O que precisamos fazer inicialmente é definir nosso conjunto B a partir de uma transformação do nosso sistema de coordenada. Nada melhor que integrar uma esfera usando coordenadas esféricas, não é mesmo ?

Então vamos tomar

x = r cos ⁡ θ   s e n   ϕ

y = r   s e n   θ   s e n   ϕ

z = r cos ⁡ ϕ

Onde nossos limites serão

0 ≤ r ≤ R ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π / 2

Desta forma temos uma semi-esfera com z ≥ 0 .

Lebrando que d m = δ x , y , z   d x   d y   d z = J   δ r , θ , ϕ d r   d θ   d ϕ , ou seja, devemos lembrar de utilizar o jacobino em nossas transformadas. Para coordenada esféricas devemos lembrar que nosso jaconiano é r 2 s e n ϕ .

Como se trata de uma esfera homogênia, temos δ x , y , z = δ r ,   θ ,   ϕ = k = M / V

Passo 3

Agora queremos finalmente calcular as integrais, entretanto perceba que só precisamos calcular para z . Uma vez que a semi-esfera é homogênia, temos que tanto para x , quando para y temos por simetria que o centro entra sobre o eixo O z . Assim vamos calcular

∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 r cos ⁡ ϕ k r 2   s e n   ϕ d ϕ   d θ   d r

A integral em r e θ é transquila de se calcular e ficamos com

2 π k R 4 4 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ϕ   s e n   ϕ   d ϕ

Essa ultima integral resolvemos fazendo s e n   ϕ = u → cos ⁡ ϕ   d ϕ = d u e assim tendo que quando ϕ = 0 → u = 0 e ϕ = π / 2 → u = 1

Assim nossa integral se transforma da seguinte maneira

π k R 4 2 ∫ 0 1 u   d u = π k R 4 4

Passo 4

Agora vamos calcular o denominado, ou seja, nossa massa

∭ B d m = k ∫ 0 R ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 r 2 s e n   ϕ   d ϕ   d θ   d r

Novamente temos integrais fáceis para r e θ , assim ficamos com

2 π k R 3 3 ∫ 0 π / 2 s e n   ϕ   d ϕ = 2 π k R 3 3 - cos ⁡ ϕ 0 π / 2 = 2 π k R 3 3

Assim temos que

z C = π k R 4 / 4 2 π k R 3 / 3 = 3 R 8

Resposta

Assim temos que o centro de Massa é

0,0 , 3 R 8

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