Enunciado

Um sólido tem a forma de um cilindro circular reto de raio de base a e altura h . Determinar o momento de inércia do sólido em relação ao eixo de simetria, se a densidade no ponto P é proporcional à distância de P até a base do sólido.

Passo 1

Vamos considerar o cilindro centrado na origem.

A equação dele é: x 2 + y 2 = a 2 , com uma altura variando de 0   a   h (em z ).

O eixo de simetria é o eixo z , e a distância de um ponto do cilindro a esse eixo é o raio.

A densidade é a distância de um ponto do cilindro até a base, logo z k .

Vamos transferir isso para coordenadas cilíndricas...

x = r cos ⁡ θ y = r   s e n   θ z = z

Os intervalos são:

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ z ≤ h

Passo 2

Vamos montar a integral do momento de inércia agora...

I = ∫ 0 2 π ∫ 0 a ∫ 0 h r 2 z k r d z d r d θ

= k ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 3 z 2 2 0 h d r d θ

= k ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 3 h 2 2 d r d θ

= k ∫ 0 2 π r 4 h 2 8 0 a d θ

= k ∫ 0 2 π a 4 h 2 8 d θ

= k 2 π a 4 h 2 8

= k π a 4 h 2 8

Prontinho! Achamos o momento de inércia😉

Resposta

k π a 4 h 2 8

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