Enunciado

Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica

b) x = 3 t e y = 2 t 3 2 , 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Para o calcular o comprimento do gráfico precisamos aplicar a seguinte formula:

d = ∫ b a d x d t 2 + d y d t 2 d t

Sendo assim, vamos calcular as derivadas x e y , de acordo com as informações do enunciado:

x = 3 t → d x d t = 3

y = 2 t 3 2 → d y d t = 3 t 1 2

Além disso, temos que a = 1 e b = 0 .

Aplicando a formula do comprimento:

d = ∫ 0 1 3 2 + 3 t 1 2 2 d t

Agora vamos resolver!

Passo 2

Mexendo um pouco na integral, ficamos com

d = ∫ 0 1 3 2 + 3 t 1 2 2 d t = ∫ 0 1 9 + 9 t d t

= ∫ 0 1 9 ( 1 + t ) d t = ∫ 0 1 3 ( 1 + t ) d t

Logo,

d = 3 ∫ 0 1 ( 1 + t ) d t

Passo 3

Essa integral não é direta, temos que antes fazer uma substituição!

u = 1 + t

Derivando u

d u = d t

Isolamos essa integral para facilitar nosso cálculo!

∫ ( 1 + t ) d t = ∫ u 1 2 d u = 2 3 u 3 2

Voltando a nossa variável temos:

∫ ( 1 + t ) d t = 2 3 1 + t 3 2

Calculamos a primitiva, meu amigo, vamos agora fazer a parte mais fácil:

d = 3 ∫ 0 1 ( 1 + t ) d t = 3 2 3 1 + t 3 2 1 0 = 2 2 2 - 1

Logo,

d = 2 2 2 - 1 = 4 2 - 2

Resposta

d = 2 2 2 - 1 = 4 2 - 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Configure uma integral que represente o comprimento da curva. Em seguida, use sua calculadora para identificar o comprimento correto para quatro casas decimais. x = y - y , 1 ≤ y ≤ 4
Configure uma integral que represente o comprimento da curva. Em seguida, use sua calculadora para identificar o comprimento correto para quatro casas decimais. y 2 = ln ⁡ x , - 1 ≤ y ≤ 1
Para a função f x = 1 4 e x + e - x , prove que o comprimento do arco em qualquer intervalo tem o mesmo valor que a área abaixo da curva
A função comprimento de arco para uma curva y = f x , onde f é uma função crescente, é s x = ∫ 0 x 3 t + 5 d t .Se f interceptar y em 2 , encontre uma equação para f .Que ponto no gráfico de f está 3
Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare sua resposta com o valor da integral reproduzido pela sua calculadora. x = y + y , 1 ≤ y ≤ 2