Enunciado

Para a função f x = 1 4 e x + e - x , prove que o comprimento do arco em qualquer intervalo tem o mesmo valor que a área abaixo da curva

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O nosso objetivo é provar que o comprimento do arco em qualquer intervalo tem o mesmo valor que a área sob a curva.

f x = 1 4 e x + e - x

Passo 2

A fórmula do comprimento do arco para a curva f em qualquer intervalo é:

L = ∫ 1 + f ' x 2 d x

Derivando f x , temos:

f ' x = d d x 1 4 e x + e - x

f ' x = 1 4 e x - e - x

Passo 3

Agora, vamos calcuar o termo 1 + f ' x 2 , da seguinte maneira:

1 + f ' x 2 = 1 + 1 4 e x - e - x 2

Desenvolvendo o quadrado, temos:

1 + f ' x 2 = 1 + e x 4 2 - 2 e x 4 e - x + e - x 2

1 + f ' x 2 = 1 + e 2 x 16 - 1 2 + e - 2 x

1 + f ' x 2 = e 2 x 16 + 1 2 + e - 2 x

Fatorando o termo, encontramos:

1 + f ' x 2 = e x 4 + e - x 2

Tirando da raiz, obtemos:

1 + f ' x 2 = e x 4 + e - x

Portanto:

L = ∫ e x 4 + e - x d x         1

Passo 4

Sabemos que a fórmula da área sob a curva f é dada por:

L = ∫ f x d x

Portanto, se f x = e x 4 + e - x , temos que:

L = ∫ e x 4 + e - x d x         2

Analisando as equações 1 do comprimento do arco em qualquer intervalo e 2 da área sob a curva, podemos comprovar que são iguais.

Resposta

Analisando as equações 1 a partir do comprimento do arco em qualquer intervalo e 2 da área sob a curva, podemos comprovar que são iguais.

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