Calcule o comprimento exato da curva polar

r = theta^2

0 <= theta <= 2pi

Passo 1

O comprimento de uma curva em coordenadas polares é dado por

L = ∫ a b r 2 + d r d θ 2   d θ

O intervalo de integração a questão já deu pra gente:

a = 0

b = 2 π

Os outros termos da integral vão ficar:

r = θ 2

r 2 = θ 4

d r d θ = 2 θ

d r d θ 2 = 4 θ 2

Passo 2

Substituindo tudo na integral:

L = ∫ 0 2 π θ 4 + 4 θ 2   d θ

L = ∫ 0 2 π θ 2 ( θ 2 + 4 )   d θ

L = ∫ 0 2 π θ ( θ 2 + 4 )   d θ

Se fizermos

u = θ 2 + 4

Então

d u = 2 θ d θ   ⇒   θ d θ = 1 2 d u

Assim

L = ∫ 4 4 π 2 + 4 1 2 u   d u

L = 1 2 ∫ 4 4 π 2 + 4 u   d u

L = 1 2 2 3 u 3 2 4 π 2 + 4 4

L = 1 2 2 3 ( 4 π 2 + 4 ) 3 2 - 3 2 ∙ 4 3 2

L = 1 2 ∙ 2 3 ( 4 π 2 + 4 ) 3 2 - 4 3 2

L = 1 3 ∙ 4 3 2 ( π 2 + 1 ) 3 2 - 1 3 2

L = 8 3 ∙ ( π 2 + 1 ) 3 2 - 1 3 2

Resposta

L = 8 3 ∙ ( π 2 + 1 ) 3 2 - 1 3 2

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