Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

e) x = t 3 , y = t 2 ,   1 ≤ t ≤ 3

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

Para começar vamos escrever uma expressão para r → t . O enunciado nos disse o seguinte:

x = t 3 , y = t 2

Logo,

r → t = t 3 ,   t 2

Passo 3

Agora já temos uma expressão para r → t . Então bora derivar para acharmos r ' → t !

r → t = t 3 ,   t 2

Derivando,

r ' → t = 3 × t 2 ,   2 × t

Assim,

r ' → t = 3 t 2 ,   2 t

Passo 4

Como já encontramos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = 3 t 2 2 + 2 t 2

Portanto,

r ' → t = 9 t 4 + 4 t 2

Tirando o t 2 da raiz:

r ' → t = t 9 t 2 + 4

Passo 5

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b t 9 t 2 + 4   d t

Como estamos pegando entre os pontos 1 e 3   :

l = ∫ 1 3 t 9 t 2 + 4   d t

Para resolvermos essa integral vamos fazer substituição de variável.

u = 9 t 2 + 4

Derivando,

d u = 18 t d t → t d t = 1 18 d u

Como fizemos uma substituição, temos que mudar os limites de integração. Assim,

t = 1 → u = 9 × 1 2 + 4 = 13

t = 3 → u = 9 × 3 2 + 4 = 85

Então nossa integral fica o seguinte:

l = ∫ 1 3 85 u 1 18 d u

Tirando o 1 / 18 da integral:

l = 1 18 ∫ 1 3 85 u   d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 6

Pra finalizar, vamos resolver esse integral!

l = 1 18 ∫ 13 85 u 1 / 2   d u

Usando o lembrete do Passo anterior:

l = 1 18 × u 1 2 + 1 1 2 + 1 1 3 85

Simplificando:

l = 1 27 × u 3 2 1 3 85

Aplicando entre os pontos 1 3 e 85 :

l = 1 27 × 85 3 2 -   1 3 3 2

Arrumando dentro do parêntese:

l = 1 27 × 85 3 - 1 3 3

Portanto,

l = 1 27 85 85 -   13 13

Resposta

l = 1 27 85 85 -   13 13

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