Enunciado

Determinar o comprimento do arco das seguintes curvas:

h) r → t = e t ,   e - t ,   t 2 para t ∈ 0 ,   1

Passo 1

A ideia nessas questões de calcular o comprimento do arco de uma curva é lembrar da formula lá da teoria, deixa eu te lembrar:

l = ∫ a b r ' → t d t

Essa formula nos dá o comprimento da curva r → t entre os pontos a e b . Repare que r ' → t é o modulo do vetor r ' → t . Então vamos lá!

Passo 2

Agora já temos uma expressão para r → t . Então bora derivar para acharmos r ' → t !

r → t = e t ,   e - t ,   t 2

Derivando,

r ' → t = e t ,   - e - t ,   2

Passo 3

Como já temos r ' → t , vamos ver como fica o modulo desse vetor!

r ' → t = e t 2 + - e - t 2 + 2 2

Logo,

r ' → t = e 2 t + 2 + e - 2 t

Opa, mas essa expressão dentro da integral ta com uma cara conhecia. Se liga só:

e t + e - t 2 = e 2 t + 2 × e t × e - t + e - 2 t

Simplificando:

e t + e - t 2 = e 2 t + 2 + e - 2 t

Viu que é a mesma coisa? Então vamos substituir na expressão de | r ' → t | :

r ' → t = e t + e - t 2

Portanto,

r ' → t = e t + e - t

Passo 4

Para finalizarmos, vamos calcular a seguinte integral:  

l = ∫ a b e t + e - t d t

Como estamos pegando entre os pontos 0 e 1 :

l = ∫ 0 1 e t + e - t d t

Integrando, temos o seguinte:

l = e t - e - t 0 1

Aplicando entre os pontos 0 e 1 :

l = e 1 - e - 1 - e 0 - e 0

Portanto,

l = e - 1 e

Resposta

l = e - 1 e

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