Enunciado

Calcule o comprimento do gráfico da função dada.

b ) f (x) = ln x , 1 <= x <= e

Passo 1

Primeiro precisamos Montar a integral que descreve o comprimento do gráfico, como sabemos ela é:

L = int_a^b sqrt(1 + [(d (f (x)))/(d x)]^2) d x

Assim a primeira coisa a se fazer é achar a derivada da função, que é:

(d (f (x)))/(d x) = (d (l n x))/(d x) = (1)/(x)

Agora substituímos:

L = int_1^e sqrt(1 + [(1)/(x)]^2) d x = int_1^e sqrt((x^2 + 1)/(x^2)) d x = int_1^e (sqrt(x^2 + 1))/(x) d x

Passo 2

Essa equação tem cara de algo conhecido, a equação de cima( sqrt(x^2 + 1) ) parece que vem de Pitágoras.

Repara nesse triângulo:

Se os lados dele fossem:

h i p o t e n u s a = sqrt(x^2 + 1) , c a t e t o o p o s t o = x e c a t e t o a d j a c e n t e = 1

Teríamos por consequência, que a f(x) na equação seria:

f (x) = (sqrt(x^2 + 1))/(x) = csc theta

E:

(x)/(1) = tan theta -> d x = sec^2 theta d theta

Assim, substituindo, temos:

int csc theta sec^2 theta d theta

Analisando essa nova equação pode ser difícil de fazer por outros métodos, mas por acaso temos a relação já dada que

x = tan theta -> d x = sec^2 theta d theta

E isso nos remete a Integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Reescrevendo a relação, temos:

v = tan theta -> d v = sec^2 theta d theta

Por consequência:

u = csc theta -> d u = - csc theta cot theta d theta

Substituindo:

int csc theta sec^2 theta d theta = tan theta csc theta - int - csc theta cot theta tan theta d theta

cot theta tan theta = (1)/(tan theta) tan theta = 1

int csc theta sec^2 theta d theta = tan theta csc theta + int csc theta d theta

int csc theta d theta = int (csc theta (csc theta + cot theta))/(csc theta + cot theta) d theta = int (csc^2 theta)/(csc theta + cot theta) d theta + int (- cot theta csc theta)/(csc theta + cot theta) d theta

Se n = csc theta + cot theta -> d n = csc^2 theta + cot theta csc theta

- int (1)/(n) d n = - ln n = - ln |csc theta + cot theta|

Logo:

int csc theta sec^2 theta d theta = tan theta csc theta - ln |csc theta + cot theta| =

Voltando pra coordenada x:

(x sqrt(x^2 + 1))/(x) - ln |(sqrt(x^2 + 1))/(x) + (1)/(x)| = (x sqrt(x^2 + 1))/(x) - ln |(sqrt(x^2 + 1) + 1)/(x)|

Passo 3

Agora voltamos aos limites de integração:

[(x sqrt(x^2 + 1))/(x) - ln |(sqrt(x^2 + 1) + 1)/(x)|] (e)/(1)

(e sqrt(e^2 + 1))/(e) - ln |(sqrt(e^2 + 1) + 1)/(e)| - (sqrt(2) - ln |1 + sqrt(2)|) =

sqrt(e^2 + 1) - sqrt(2) + ln |(e (sqrt(2) + 1))/((sqrt(e^2 + 1) + 1))| = sqrt(e^2 + 1) - sqrt(2) + ln |e xx ((sqrt(2) + 1))/((sqrt(e^2 + 1) + 1))| =

sqrt(e^2 + 1) - sqrt(2) + ln |((sqrt(2) + 1))/((sqrt(e^2 + 1) + 1))| + ln e = sqrt(e^2 + 1) - sqrt(2) + ln |(sqrt(2) + 1)/(sqrt(e^2 + 1) + 1)| + 1

Resposta

L = sqrt(e^2 + 1) - sqrt(2) + ln |(sqrt(2) + 1)/(sqrt(e^2 + 1) + 1)| + 1

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