Enunciado

Calcule o comprimento total da astroide x = acos^3 theta , y = s e n^3 theta com a > 0 .

Passo 1

Precisamos calcular o comprimento total da astroide x = acos^3 theta , y = s e n^3 theta . Mas você deve estar se perguntando: o que é um astroide? Não que isso interfira muito na resolução da questão, mas é legal conhecermos as figuras, astroide é o gráfico de um curva que se assemelha com uma estrela, este é o gráfico do nosso astróide:

Sabemos que o comprimento de uma curva é L = int_a^b sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t

Então vamos calcular primeiro ((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2

( - 3 acos^2 theta s e n^2 theta )^2 + (3 a s e n^2 theta c o s theta)^2

9 a^2 cos^4 theta s e n^2 theta + 9 a^2 s e n^4 theta cos^2 theta

9 a^2 cos^2 theta s e n^2 theta ( s e n^2 theta + cos^2 theta )

9 a^2 cos^2 theta s e n^2 theta

Agora vamos jogar isso na nossa integral:

L = 4 int_0^(pi // 2) sqrt(9 a^2 cos^2 theta s e n^2 theta) d theta

L = 4 int_0^(pi // 2) 3 a c o s theta s e n theta d theta

= 12 a [(1)/(2) s e n^2 theta]_0^(pi // 2)

= 6 a [ s e n^2 ((pi)/(2)) - 0 ]

= 6 a

Então o comprimento do astroide é igual a 6 a .

Resposta

54. 6 a

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