Enunciado

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

r → t = cos ⁡ 2 t ,   s e n 2 t ,   t ∈ 0 , π 2

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos s ( t ) . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, t ( s ) , e aí a nossa função reparametrizada vai ser h → s = r → ( t s ) , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

r → t = cos ⁡ 2 t ,   s e n 2 t

Derivando,

r ' → t = - 2 s e n 2 t ,   2 c o s 2 t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = - 2 s e n 2 t 2 + 2 c o s 2 t 2

Desenvolvendo:

r ' → t 2 = 4 s e n 2 2 t + 4 cos 2 ⁡ 2 t

Olha aí a relação fundamental da trigonometria!

r ' → t 2 = 4

E portanto, o módulo vai ser:

r ' → t = 2

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t 2 d t *

Integrando:

s t = 2 t * 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 2 t

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, t ( s ) . É assim: nós temos s em função de t , certo?

s = 2 t

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o t em função de s .

t = s 2

E ajeitando o intervalo que estamos considerando, se s é o dobro de t :

t ∈ 0 , π 2 → s ∈ 0 , π

Passo 6

Prontinho, agora é só substituir a função t ( s ) na expressão de r → ( t ) .

r → t = cos ⁡ 2 t ,   s e n 2 t

h → s = r → t ( s ) = cos ⁡ 2 s 2 ,   s e n 2 s 2

h → s = cos ⁡ s ,   s e n   s

Resposta

cos ⁡ s ,   s e n   s ,   s ∈ [ 0 ,   π ]

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