Enunciado

Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:

r → t = a cos 3 ⁡ t ,   a   s e n 3 t ,   t ∈ 0 , π 2

Passo 1

Galera, vamos relembrar o que é essa função comprimento de arco? Ela é uma que dá exatamente o que o nome indica: o comprimento da função! E o melhor, a gente pode usar pra calcular esse tamanho no intervalo que quisermos. Essa função vai ser escrita assim:

s t = ∫ a t r ' → t * d t *

O que a gente vai fazer então é derivar a função r → ( t ) que o enunciado der, calcular o módulo dessa derivada, e depois integrar no intervalo que queremos. Até aí calculamos s ( t ) . Depois disso, encontramos a inversa dessa função, t ( s ) , e aí a nossa função reparametrizada vai ser h → s = r → ( t s ) , aí fechou.

Passo 2

Pra derivar a função r → ( t ) , a gente vai derivar cada uma das suas componentes. Não esquece da regra da cadeia, hein!

r → t = a cos 3 ⁡ t ,   a   s e n 3 t

Derivando,

r ' → t = 3 a cos 2 ⁡ t - s e n t , 3 a s e n 2 t cos ⁡ t

Dando uma breve arrumadinha:

r ' → t = - 3 a cos 2 ⁡ t s e n t ,   3 a s e n 2 t cos ⁡ t

Passo 3

Beleza, já tá derivado, então é hora de partir pro módulo dessa derivada!

r ' → t 2 = - 3 a cos 2 ⁡ t s e n t 2 +   3 a s e n 2 t cos ⁡ t 2

Desenvolvendo as contas:

r ' → t 2 = 9 a 2 cos 4 ⁡ t s e n 2 t + 9 a 2 s e n 4 t c o s 2 t

Botando 9 a 2 cos 2 ⁡ t s e n 2 t em evidência:

r ' → t 2 = 9 a 2 cos 2 ⁡ t s e n 2 t cos 2 ⁡ t + s e n 2 t

Essa é a relação fundamental da trigonometria que apareceu ali!

r ' → t 2 = 9 a 2 cos 2 ⁡ t s e n 2 t

Portanto, o módulo vai ficar:

r ' → t = 3 a cos ⁡ t s e n t

Usando o arco duplo:

r ' → t = 3 a 2 s e n 2 t

Passo 4

Agora só falta integrar! Como não temos nenhuma restrição, os nossos limites de integração vão ser 0 e t .

s t = ∫ 0 t r ' → t * d t *

s t = ∫ 0 t 3 a 2 s e n 2 t * d t *

Tirando as contantes:

s t = 3 a 2 ∫ 0 t s e n 2 t * d t *

Integrando:

s t = 3 a 2 - cos ⁡ 2 t * 2 0 t

Substituindo os limites de integração:

s t = 3 a 4 - cos ⁡ 2 t - - c o s 0

s t = 3 a 4 1 - cos ⁡ 2 t  

Como cos ⁡ 2 t = 1 - 2 s e n 2 t :

s t = 3 a 2 s e n 2 t

Com t variando de 0 a π 2 .

Passo 5

Agora temos que achar a função inversa, t ( s ) . É assim: nós temos s em função de t , certo?

s = 3 a 2 s e n 2 t

Pra encontrar a inversa, a gente só precisa isolar o t em função de s .

s e n 2 t = 2 s 3 a

Tirando o quadrado,

s e n t = 2 s 3 a

E usando a inversa do seno:

t = a r c s e n 2 s 3 a

E ajeitando o intervalo que estamos considerando:

t ∈ 0 , π 2

s 0 = 3 a 2 s e n 2 0 = 0

s π 2 = 3 a 2 s e n 2 π 2 = 3 a 2

Assim,

s ∈ 0 , 3 a 2

Passo 6

Prontinho, agora é só substituir a função t ( s ) na expressão de r → ( t ) .

r → t = a cos 3 ⁡ t ,   a   s e n 3 t

h → s = r → t s = a cos 3 ⁡ a r c s e n 2 s 3 a ,   a   s e n 3 a r c s e n 2 s 3 a

Mas

s e n a r c s e n x = x

cos ⁡ a r c s e n x = 1 - x 2

Então,

h → s = a 1 - 2 s 3 a 3 ,   a 2 s 3 a 3

s ∈ 0 , 3 a 2

Resposta

a 1 - 2 s 3 a 3 ,   a 2 s 3 a 3 ,   s ∈ 0 , 3 a 2

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