15. Calcule

d ) ∫ cos ⁡ 5 x cos ⁡ x   d x

Passo 1

Precisamos saber da identidade trigonométrica cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a + b + cos ⁡ ( a - b ) . Logo,

∫ cos ⁡ 5 x cos ⁡ x   d x = ∫ 1 2 cos ⁡ 5 x + x + cos ⁡ ( 5 x - x ) d x = 1 2 ∫ [ cos ⁡ 6 x + cos ⁡ 4 x ] d x

Passo 2

Sabemos que ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k . Logo,

1 2 ∫ [ cos ⁡ 6 x + cos ⁡ 4 x ] d x = 1 2 1 6 sin ⁡ 6 x + 1 4 sin ⁡ 4 x   + k = 1 12 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 4 x + k  

Resposta

Logo, o resultado da integral é

∫ cos ⁡ 5 x cos ⁡ x   d x =   1 12 sin ⁡ 6 x + 1 8 sin ⁡ 4 x + k  

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