Resolva a equação:

arctg((1 + e^x) / 2) + arctg((1 - e^x) / 2) = pi / 4

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios anteriores, teremos:

Lembrando que:

t g α + β = t g α + t g β 1 - t g α ∙ t g β

Aplicamos tangente de ambos os lados da equação dada:

t g a r c t g 1 + e x 2 + a r c t g 1 - e x 2 = t g π 4

Fazendo:

α = a r c t g 1 + e x 2   e   β = a r c t g 1 - e x 2

Teremos que:

α = a r c t g 1 + e x 2 = > t g   α = 1 + e x 2

E:

β = a r c t g 1 - e x 2 = > t g   β = 1 - e x 2

Passo 2

Substituindo na relação da tangente da soma, teremos:

t g α + β = t g α + t g β 1 - t g α ∙ t g β = 1 + e x 2 + 1 - e x 2 1 - 1 + e x 2 1 - e x 2 =

= 2 2 1 - 1 - e x + e x - e 2 x 2 = 1 2 - 1 + e 2 x 2 = 1 1 + e 2 x 2 = 2 1 + e 2 x

Logo:

t g a r c t g 1 + e x 2 + a r c t g 1 - e x 2 = t g π 4

Fica reescrita da seguinte forma:

2 1 + e 2 x = 1

Daí, temos que:

2 = 1 + e 2 x = > e 2 x = 1 = > e 2 x = e 0 = > 2 x = 0 = > x = 0

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

S = 0 .

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