Calcule:

a) sen(arctg 2 + arctg 3)

b) cos(arctg 2 - arctg(1/2))

c tg(2 arc tg(1/5))

d) cos(3arc tg(24 / 7))

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo dos exercícios resolvidos 381 e 383, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, teremos:

Item a

Sabendo que:

s e n   α + β = s e n   α ∙ cos ⁡ β + s e n   β ∙ cos ⁡ α

E fazendo:

α = a r c   t g   2   e   β = a r c   t g   3

Teremos que:

α = a r c   t g   2 = > t g   α = 2   e   - π 2 < α < π 2

Logo:

s e n 2 α = t g 2   α 1 + t g 2   α = 2 2 1 + 2 2 = 4 5 = > s e n   α = + 4 5 = 2 5

Que racionalizando fica:

s e n   α = 2 5 ∙ 5 5 = 2 5 5

E da relação fundamental temos que:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - 4 5 = 1 5 = 1 5

Que racionalizando fica:

cos ⁡ α = 1 5 ∙ 5 5 = 5 5

Passo 2

Temos também que:

β = a r c   t g   3 = > t g   β = 3   e   - π 2 < β < π 2

Logo:

s e n 2 β = t g 2   β 1 + t g 2   β = 3 2 1 + 3 2 = 9 10 = > s e n   β = + 9 10 = 3 10

Que racionalizando fica:

s e n   β = 3 10 ∙ 10 10 = 3 10 10

E da relação fundamental temos que:

cos ⁡ β = + 1 - s e n 2 β = 1 - 9 10 = 1 10 = 1 10

Que racionalizando fica:

cos ⁡ β = 1 10 ∙ 10 10 = 10 10

Da relação inicial teremos que:

s e n a r c   t g   2 + a r c   t g   3 = s e n   α + β = s e n   α ∙ cos ⁡ β + s e n   β ∙ cos ⁡ α =

= 2 5 5 ∙ 10 10 + 3 10 10 ∙ 5 5 = 2 50 50 + 3 50 50 = 5 50 50 = 2 ∙ 25 10 = 5 2 10 = 2 2

Passo 3

Item b

Sabendo que:

cos ⁡   α - β = cos ⁡ α ∙ cos ⁡ β + s e n   α ∙ s e n   β

E fazendo:

α = a r c   t g   2   e   β = a r c   t g 1 2

Da resolução do item a, já temos que:

s e n   α = 2 5 5   e   cos ⁡ α = 5 5

E teremos que:

β = a r c   t g 1 2 = > t g   β = 1 2   e   - π 2 < β < π 2

Logo:

s e n 2 β = t g 2   β 1 + t g 2   β = 1 2 2 1 + 1 2 2 = 1 4 1 + 1 4 = 1 4 5 4 = 1 5

= > s e n   β = + 1 5 = 1 5

Que racionalizando fica:

s e n   β = 1 5 ∙ 5 5 = 5 5

E da relação fundamental temos que:

cos ⁡ β = + 1 - s e n 2 β = 1 - 1 5 = 4 5 = 2 5

Que racionalizando fica:

cos ⁡ β = 2 5 ∙ 5 5 = 2 5 5

Passo 4

Da relação inicial teremos que:

cos ⁡   a r c   t g   2 - a r c   t g 1 2 = cos ⁡   α - β = cos ⁡ α ∙ cos ⁡ β + s e n   α ∙ s e n   β =

= 5 5 ∙ 2 5 5 + 2 5 5 ∙ 5 5 = 2 25 25 + 2 25 25 = 10 25 + 10 25 = 20 25 = 4 5

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

a )   2 2 ; b )   4 5

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