Calcule:

a) tg(arcsen(-2/3) + arcsen(1/4))

b) sen(2 arc sen(-3/5)).

c) cos(3 arc sen(12 / 13))

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções circulares inversas. Usando o passo a passo do exercício resolvido 366, e mais alguns conceitos aprendidos anteriormente, teremos:

Item a

Sabendo que:

t g α + β = t g   α + t g   β 1 - t g   α ∙ t g   β

E fazendo:

α = a r c   s e n - 2 3   e   β = a r c   s e n 1 4

Teremos que:

α = a r c   s e n - 2 3 = > s e n   α = - 2 3   e   - π 2 ≤ α ≤ π 2

E:

β = a r c   s e n 1 4 = > s e n   β = 1 4   e   - π 2 ≤ β ≤ π 2

Logo:

cos ⁡ α = + 1 - s e n 2 α = 1 - - 2 3 2 = 1 - 4 9 = 5 9 = 5 3

E:

cos ⁡ β = + 1 - s e n 2 β = 1 - 1 4 2 = 1 - 1 16 = 15 16 = 15 4

Passo 2

Para obtermos as tangentes usamos:

t g   α = s e n   α cos ⁡ α = - 2 3 5 3 = - 2 5 = - 2 5 ∙ 5 5 = - 2 5 5

E:

t g   β = s e n   β cos ⁡ β = 1 4 15 4 = 1 15 = 1 15 ∙ 15 15 = 15 15

Agora, aplicando os resultados obtidos na equação da tangente da soma, teremos que:

t g α + β = t g a r c   s e n - 2 3 + a r c   s e n 1 4 = t g   α + t g   β 1 - t g   α ∙ t g   β

Ou seja:

t g a r c   s e n - 2 3 + a r c   s e n 1 4 = - 2 5 5 + 15 15 1 - - 2 5 5 ∙ 15 15 = - 6 5 + 15 15 1 + 2 75 75 =

= - 6 5 + 15 15 75 + 2 75 75 = - 6 5 + 15 15 75 75 + 2 75 = 5 - 6 5 + 15 75 + 2 25 ∙ 3 =

= 5 - 6 5 + 15 75 + 10 3

Passo 3

A resposta obtida deve ser racionalizada. Para isso multiplicamos a fração toda (numerador e denominador) pelo conjugado do denominador, ou seja, 75 - 10 3 .

5 - 6 5 + 15 75 + 10 3 = 5 - 6 5 + 15 75 + 10 3 ∙ 75 - 10 3 75 - 10 3 =

= 5 - 450 5 + 60 15 + 75 15 - 10 45 5625 - 100 ∙ 3 = 5 5325 - 450 5 + 135 15 - 10 45 =

= 1 1065 - 450 5 + 135 15 - 10 9 ∙ 5 = 1 1065 - 450 5 + 135 15 - 30 5 =

= 1 1065 - 480 5 + 135 15 = 1 71 9 15 - 32 5

Passo 4

Outra resposta aceitável é obtida ao simplificarmos o resultado do passo 2, sem realizar a racionalização:

5 - 6 5 + 15 75 + 10 3 = 5 - 6 5 + 5 ∙ 3 5 ∙ 15 + 5 ∙ 2 3 = - 6 5 + 5 ∙ 3 15 + 2 3 = 5 - 6 + 3 15 + 2 3

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

a )   1 71 9 15 - 32 5   o u   5 - 6 + 3 15 + 2 3

Exercícios de Livros Relacionados