Enunciado

Calcule o valor da expressão s e n 105 ° - c o s 75 ° .

Passo 1

Aqui vamos transformar essa expressão em uma soma de senos e cossenos que conhecemos o valor, por exemplo: s e n 105 ° = s e n ( 60 ° + 45 ° ) e cos 75 ° = cos ( 30 ° + 45 ° ) . A partir disso, vamos utilizar a fórmula do seno e do cosseno da soma para acabar com nosso problema.

Cosseno da soma: c o s (a + b) = c o s a * c o s b - s e n a * s e n b

Seno da soma:

s e n (a + b) = s e n a * cos b + s e n b * cos a

Passo 2

Agora vamos substituir os dados na fórmula: s e n (60 ° + 45 °) = s e n 60 ° * cos 45 ° + s e n 45 ° * cos 60 °

s e n (60 ° + 45 °) = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(2))/(2) + (sqrt(2))/(2) * (1)/(2)

s e n (60 ° + 45 °) = (sqrt(6))/(4) + (sqrt(2))/(4)

s e n 105 ° = (sqrt(6) + sqrt(2))/(4) .

cos ( 30 ° + 45 ° ) = c o s 30 ° * c o s 45 ° - s e n 30 ° * s e n 45 °

cos ( 30 ° + 45 ° ) = (sqrt(3))/(2) * (sqrt(2))/(2) - (1)/(2) * (sqrt(2))/(2)

cos ( 30 ° + 45 ° ) = (sqrt(6))/(4) - (sqrt(2))/(4)

cos 75 ° = (sqrt(6) - sqrt(2))/(4)

Passo 3

Agora que temos o s e n 105 ° e o cos 75 ° , vamos substituir na expressão pedida pelo problema ( s e n 105 ° - c o s 75 ° ):

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(6) + sqrt(2))/(4) - ((sqrt(6) - sqrt(2))/(4))

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(6) + sqrt(2) - sqrt(6) + sqrt(2))/(4)

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (2 sqrt(2))/(4)

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(2))/(2)

Resposta

s e n 105 ° - c o s 75 ° = (sqrt(2))/(2)

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule cotg 165°, sec 255° e cossec 15°.
Determine os seguintes números: a r c t g 0 , a r c t g sqrt(3) , a r c t g (- 1) , a r c t g ((- sqrt(3))/(3)) .
Sejam α = a r cs e n 4 5 um arco no 2º quadrante e β = a r ct g - 4 3 um arco no 4º quadrante. Calcule 25 c o s ⁡ ( α + β ) .
Calcule cos (a r c t g (- (4)/(3))) .
Calcule:a ) s e n (a r c t g 2 + a r c t g 3) . b ) cos (a r c t g 2 - a r c t g (1)/(2)) . c ) t g (2 a r c t g (1)/(5)) . d ) cos (3 a r c t g (24)/(7)) .