Calcule.

∫ 1 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x   d x

Passo 1

Vamos começar olhando apenas para o denominador, e vamos usar o fato que 3 = 2 cos ⁡ π 6   , assim:

3 cos ⁡ x - sin ⁡ x =   2 cos ⁡ π 6   cos ⁡ x - sin ⁡ x

Agora, vamos utilizar a seguinte identidade:

cos ⁡ a cos ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b + cos ⁡ a + b  

Dessa forma,

2 cos ⁡ π 6   cos ⁡ x = cos ⁡ π 6 - x + cos ⁡ π 6 + x  

Por outro lado, vamos utilizar o fato que:

sin ⁡ x = 2 sin ⁡ π 6 sin ⁡ x

Isso porque, sin ⁡ π 6 = 1 2 . Também utilizando a seguinte relação:

sin ⁡ a sin ⁡ b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b  

2 sin ⁡ π 6 sin ⁡ x = cos ⁡ π 6 - x - cos ⁡ π 6 + x

Dessa forma,

3 cos ⁡ x - sin ⁡ x = 2 cos ⁡ π 6 + x

E portanto,

1 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x = 1 2 sec ⁡ x + π 6  

Passo 2

Agora, colocando dentro da integral,

∫ 1 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x   d x = ∫ 1 2 sec ⁡ x + π 6     d x

Chamando, u = x + π 6   → d u = d x

∫ 1 2 sec ⁡ u   d u = 1 2   ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u + C

∫ 1 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x   d x = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + π 6 + t g   x + π 6 + C

Resposta

∫ 1 3 cos ⁡ x - sin ⁡ x   d x = 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + π 6 + t g   x + π 6 + C

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