Calcule f'(x) , pela definição.

h) f(x) = 1 / x^2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos resolver uma derivada! Lembrando que a definição de derivada f ' ( x ) é:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Agora vamos aplicar para nossa função!

Passo 2

Aqui temos que f x = 1 / x 2 e f x + h = 1 / x + h 2 , então substituindo na definição temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 3

Trabalhando o numerador teremos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 2 - x + h 2 x 2 x + h 2 h = lim h → 0 ⁡ - h 2 - 2 x h x 2 x + h 2 h

Podemos reescrever a função assim e simplificar o h ,

= lim h → 0 ⁡ - h h - 2 x x 2 x + h 2 . 1 h = lim h → 0 ⁡ - h + 2 x x 2 x + h 2

Quando h → 0 o valor de f ' ( x ) é:

f ' x = - 2 x x 2 x + 0 2 = - 2 x x 4 = - 2 x 3

Beleza! Vamos pra próxima?

Resposta

f ' x = - 2 x 3

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