Enunciado

Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e contínua em R , tal que f ' ( 1 ) não exista.

Passo 1

O exercício pede uma função definida e contínua, mas que em x = 1 a derivada não exista. Mas o que isso significa? Significa que em x = 1 ela tem um bico! Dá uma espiada nesse gráfico aqui embaixo:

A função (em vermelho) está toda definida, até em x = 1 . Mas antes desse ponto, a reta tangente é decrescente (em verde). E depois é crescente (em azul). Daí você se pergunta: mas isso não acontece com uma parábola no entorno da raiz? E você está certo! Acontece sim! Mas é suave! Aqui temos um bico, uma mudança “instantânea” na declividade da função. E lembrando que a derivada é a inclinação da reta tangente, num bico não temos como “equilibrar” uma reta, não é mesmo? Então ali, em x = 1 a derivada não existe.

Resposta

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Prove, usando a definição de uma derivada, que lim x → 0 ⁡ log a ⁡ 1 + x x = log a ⁡ e
Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado. f x = e x 2 e mp = 0
Associe a função representada graficamente uma derivada das Figuras (a)-(d) a seguir.
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Faça o gráfico de y=1 / (2 x ) em uma janela que contenha 0x2 . Em seguida, na mesma tela, faça o gráfico de y=x+h-x h para h=1 ; 0,5 ;0,1 . Então, tente h=-1 ;- 0,5 ;- 0,1 . Explique o que ocorre.