Calcule a derivada.

y = (2\*(4 + 3\*raiz(x, 3))\*((2 - raiz(x, 3))^(3/2))) / 5

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = 2 4 + 3 x 3 5

e

g x = 2 - x 3 3 2

y ' = 2 4 + 3 x 3 2 - x 3 3 2 5 ' = f ' x g x + g ' x f x = 2 4 + 3 x 3 5 ' ⋅ 2 - x 3 3 2 + 2 - x 3 3 2 ' ⋅ 2 4 + 3 x 3 5

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Para calcular f ' x vamos usar a regra do polinômio e da função constante:

f ' ( x ) = 2 4 + 3 x 3 5 ' = 2 5 4 + 3 x 1 3 ' = 2 5 0 + 3 ⋅ 1 3 x 1 3 - 1 = 2 5 x - 2 3 = 2 5 x 2 3

Com g ' ( x ) usamos as mesmas regras:

g ' x = 2 - x 3 3 2 ' = 2 - x 1 3 3 2 ' = 3 2 2 - x 1 3 3 2 - 1 2 - x 1 3 ' = 3 2 2 - x 1 3 1 2 0 - 1 3 x 1 3 - 1 = 3 2 - x 1 3 2 - 1 3 x - 2 3 = 2 - x 1 3 2 - 1 x 2 3 = - 2 - x 1 3 2 x 2 3

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = 2 4 + 3 x 3 5 ' ⋅ 2 - x 3 3 2 + 2 - x 3 3 2 ' ⋅ 2 4 + 3 x 3 5 = 2 5 x 2 3 ⋅ 2 - x 3 3 2 + - 2 - x 1 3 2 x 2 3 ⋅ 2 4 + 3 x 3 5 = 2 2 - x 3 3 2 5 x 2 3 - 4 + 3 x 3 2 - x 1 3 5 x 2 3 = 2 2 - x 3 3 2 - 4 + 3 x 3 2 - x 1 3 5 x 2 3

Resposta

y ' = 2 2 - x 3 3 2 - 4 + 3 x 3 2 - x 1 3 5 x 2 3

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