Calcule a derivada.

x = e^(t^2) \* sen(3t)

Passo 1

Nessa questão aqui, como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto:

f t g t ' = f ' ( t ) g t + g ' t f t

No nosso caso,

f t = e t 2

g t = sen ⁡ 3 t

Portanto, aplicando:

e t 2 sen ⁡ 3 t ' = e t 2 ' ⋅ sen ⁡ 3 t + sen ⁡ 3 t ' ⋅ e t 2

Passo 2

Agora vamos calcular essas derivadas: pra derivar a exponencial, vamos precisar também da regra da cadeia, porque essa aí é feinha!

e f t ' = e f t ⋅ f ' ( t )

No nosso caso,

e t 2 ' = e t 2 t 2 '

e t 2 ' = 2 t e t 2

Beleza, não foi tão impossível! Agora vamos pra função seno, também pela regra da cadeia!

sen ⁡ 3 t ' = 3 cos ⁡ 3 t

Passo 3

Agora é só substituir na expressão:

x ' = e t 2 sen ⁡ 3 t ' = e t 2 ' ⋅ sen ⁡ 3 t + sen ⁡ 3 t ' ⋅ e t 2

x ' = 2 t e t 2 s e n 3 t + 3 cos ⁡ 3 t e t 2

Botando a exponencial em evidência vamos chegar na resposta!

x ' = e t 2 2 t s e n 3 t + 3 cos ⁡ 3 t

Resposta

x ' = e t 2 2 t s e n 3 t + 3 cos ⁡ 3 t

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