Calcule a derivada segunda.

y = (3x + 1) / (x^2 + x)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y ' :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = 3 x + 1

e

g x = x 2 + x

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = 3 x + 1 x 2 + x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = 3 x + 1 ' x 2 + x - 3 x + 1 x 2 + x ' x 2 + x 2 = 3 x 1 - 1 + 0 x 2 + x - 3 x + 1 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 x 2 + x 2 = 3 x 0 x 2 + x - 3 x + 1 2 x + x 0 x 2 + x 2 = 3 ⋅ 1 ⋅ x 2 + x - 3 x + 1 2 x + 1 x 2 + x 2 = 3 x 2 + 3 x - 6 x 2 - 3 x - 2 x - 1 x 2 + x 2 = - 3 x 2 - 2 x - 1 x 2 + x 2

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = - 3 x 2 - 2 x - 1

e

g x = x 2 + x 2

Assim:

y ' ' = y ' ' = - 3 x 2 - 2 x - 1 x 2 + x 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

y ' ' = - 3 x 2 - 2 x - 1 ' x 2 + x 2 - - 3 x 2 - 2 x - 1 x 2 + x 2 ' x 2 + x 2 2

y ' ' = - 2 ⋅ 3 x 2 - 1 - 2 x 1 - 1 - 0 x 2 + x 2 - - 3 x 2 - 2 x - 1 2 x 2 + x 2 - 1 x 2 + x ' x 2 + x 4

y ' ' = - 6 x - 2 x 0 x 2 + x 2 - - 3 x 2 - 2 x - 1 2 x 2 + x 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 x 2 + x 4

y ' ' = - 6 x - 2 ⋅ 1 x 2 + x 2 - - 3 x 2 - 2 x - 1 2 x 2 + x 2 x + x 0 x 2 + x 4

y ' ' = - 6 x - 2 x 2 + x - - 3 x 2 - 2 x - 1 2 2 x + 1 x 2 + x 3 = - 6 x 3 - 6 x 2 - 2 x 2 - 2 x - - 3 x 2 - 2 x - 1 4 x + 2 x 2 + x 3 = - 6 x 3 - 8 x 2 - 2 x - - 12 x 3 - 6 x 2 - 8 x 2 - 4 x - 4 x - 2 x 2 + x 3 = - 6 x 3 - 8 x 2 - 2 x - - 12 x 3 - 14 x 2 - 8 x - 2 x 2 + x 3 = - 6 x 3 - 8 x 2 - 2 x + 12 x 3 + 14 x 2 + 8 x + 2 x 2 + x 3

y ' ' = 6 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 2 x 2 + x 3

Resposta

y ' ' = 6 x 3 + 6 x 2 + 6 x + 2 x 2 + x 3

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