Calcule a derivada.

y = 1/2 \* tg^2(x) + ln(cos(x))

Passo 1

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função logarítmica natural e do polinômio:

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos aplicar:

y ' = 1 2 tg 2 ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 2 tg 2 ⁡ x ' + ln ⁡ cos ⁡ x '

Vamos resolver a primeira derivada:

1 2 tg 2 ⁡ x ' = 2 ⋅ 1 2 tg 2 - 1 ⁡ x ⋅ tg ⁡ x ' = tg ⁡ x sec 2 ⁡ x

Agora a segunda:

ln ⁡ cos ⁡ x ' = 1 cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ' = 1 cos ⁡ x ⋅ - sen ⁡ x = - tg ⁡ x

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = 1 2 tg 2 ⁡ x ' + ln ⁡ cos ⁡ x ' = tg ⁡ x sec 2 ⁡ x - tg ⁡ x = tg ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 = tg ⁡ x tg 2 ⁡ x = tg 3 ⁡ x

Resposta

y ' = tg 3 ⁡ x

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