Enunciado

Radianos versus graus: derivadas no modo grau. O que aconteceria com as derivadas de sen ⁡ x e cos ⁡ x se x fosse medido em graus em vez de radianos? Para descobrir isso, siga os seguintes passos:

  1. Selecione o modo grau da calculadora gráfica ou computador e faça o gráfico de
  2. f h = sen ⁡ h h

    E estime lim h → 0 ⁡ f ( h ) . Compare sua estimativa com π / 180 . Existe alguma razão para acreditar que o limite deveria ser π / 180 ?

  3. Ainda no modo grau da calculadora gráfica, estime
  4. lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h

  5. Agora volte para a dedução da fórmula para a derivada de sen ⁡ x no texto e siga os passos da derivação usando limites no modo grau. Que fórmula você obtém para a derivada?
  6. Agora volte para a dedução da fórmula para a derivada de cos ⁡ x no texto e siga os passos da derivação usando limites no modo grau. Que fórmula você obtém para a derivada?
  7. As desvantagens das fórmulas no modo grau se tornam evidentes quando você começa a lidar com derivadas de ordem superior. Tente. No modo grau, quais são a segunda e terceira derivadas de sen ⁡ x e cos ⁡ x ?

Passo 1

Questões com muito texto pode nos confundir. Vamos começar por determinar o que precisamos fazer exatamente em cada letra.

  1. Vamos obter o gráfico de f ( h ) , calcular o valor de lim h → 0 ⁡ f ( h ) e comparar com π / 180 ;
  2. Vamos calcular o limite da função dada;
  3. Derivar pela definição a função sen ⁡ x ;
  4. Mesmo procedimento do passo anterior, mas pra cos ⁡ x ;
  5. Obter a segunda e terceira derivada de sen ⁡ x e cos ⁡ x .

Passo 2

Vamos derivar agora a função cos ⁡ x pela definição. Temos então:

d d x cos ⁡ x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ ( x + h ) - cos ⁡ x h

lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ h - sen ⁡ x sen ⁡ h ) - cos ⁡ x h

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ h - cos ⁡ x - sen ⁡ x sen ⁡ h h

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ h - cos ⁡ x h - lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ h h

cos ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h - sen ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

cos ⁡ x ⋅ 0 - sen ⁡ x ⋅ π 180

- π 180 ⋅ sen ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule f ' ( x ) , pela definição. c )f x = x 3
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dadosf x = x 3 e p = 2
Calcule f ' ( x ) , pela definição. d )f x = 1 x
Calcule f ' ( x ) , pela definição. b )f x = 3 x - 1
Calcule f ' ( p ) , pela definição, sendo dados g )f x = 2 x 3 - x 2 ; p = 1