Calcule a derivada indicada.

Dx(raiz(x - 1) / raiz_cubica(x + 1))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. O primeiro passo é aplicar a regra do quociente (eu sei que é chato e trabalhoso, mas agora não tem como fugir...):

D x x - 1 x + 1 3 = x - 1 ' ⋅   x + 1 3 -   x - 1 ⋅ x + 1 3 ' x + 1 3 2

Agora só precisamos calcular as derivadas restantes.

Passo 2

Vamos fazer primeiro x - 1 ' :

x - 1 ' = x - 1 1 2 ' = 1 2 x - 1 - 1 2   ( x - 1 ) ' = 1 2   x - 1

Analogamente,

x + 1 3 ' = x + 1 1 3 ' = 1 3 x + 1 - 2 / 3   x + 1 ' = 1 3 x + 1 2 3

Passo 3

Substituindo de volta na expressão encontrada no passo 1:

D x x - 1 x + 1 3 = x + 1 3 2   x - 1 - x - 1 3 x + 1 2 3 x + 1 2 3

Eu sei que você deve querer parar por aqui e de fato, você pode fazer isso, mas como um treino algébrico, vamos tentar simplificar um pouco essa expressão.

Vamos olhar para o numerador primeiro:

x + 1 3 2   x - 1 - x - 1 3 x + 1 2 3 = 3 x + 1 3 x + 1 2 3 - 2 x - 1 x - 1 6   x - 1   x + 1 2 3 = 3 x + 1 - 2 ( x - 1 ) 6   x - 1   x + 1 2 3

Assim,

x + 1 3 2   x - 1 - x - 1 3 x + 1 2 3 = x + 5 6   x - 1   x + 1 2 3

Desta forma,

D x x - 1 x + 1 3 = x + 5 6   x - 1   x + 1 2 3 x + 1 2 3 = x + 5 6   x - 1   x + 1 4 3

Resposta

D x x - 1 x + 1 3 = x + 5 6   x - 1   x + 1 4 3

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