Enunciado

Seja y = y x definida no intervalo aberto I e tal que, para todo x em I ,

d y d x = x 2 + y 2

Verifique que, para todo x em I ,

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 x 2 y + 2 y 3

Passo 1

Vamos derivar d y d x em relação a x , para obter a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = x 2 + y 2 '

Usamos a regra da soma:

d 2 y d x 2 = x 2 ' + y 2 '

d 2 y d x 2 = 2 x + y 2 '

Passo 2

Temos y = y x , ou seja, y é uma função de x . Logo, devemos usar a regra da cadeia para calcular y 2 ' :

d 2 y d x 2 = 2 x + y 2 '

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 y d y d x

Mas d y d x = x 2 + y 2 , então:

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 y x 2 + y 2

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 x 2 y + 2 y 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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