Calcule a derivada indicada.

Dz(1/raiz(1+cos^2(2z)))

Passo 1

A questão pede para acharmos a derivada da função dada. Antes de derivarmos, vamos reescrever a função:

1 1 + cos 2 ⁡ 2 z = 1 1 + cos 2 ⁡ 2 z 1 / 2 = 1 + cos 2 ⁡ 2 z - 1 / 2

Assim, podemos derivar usando a regra da cadeia:

D z 1 1 + cos 2 ⁡ 2 z = - 1 2 1 + cos 2 ⁡ 2 z - 1 2 - 1 ⋅ 1 + cos 2 ⁡ 2 z '

Passo 2

Assim, temos que

D z 1 1 + cos 2 ⁡ 2 z = - 1 + cos 2 ⁡ 2 z ' 2   1 + cos 2 ⁡ 2 z 3 / 2

Note que

1 + cos 2 ⁡ 2 z ' = cos 2 ⁡ 2 z ' = 2 cos ⁡ 2 z   cos ⁡ 2 z '

Como cos ⁡ 2 z ' = - s e n   2 z ⋅ 2 z ' = - 2   s e n   2 z , temos que

1 + cos 2 ⁡ 2 z ' = - 4   s e n   2 z cos ⁡ 2 z

Passo 3

Substituindo na expressão da derivada:

D z 1 1 + cos 2 ⁡ 2 z = - ( - 4   s e n   2 z cos ⁡ 2 z ) 2   1 + cos 2 ⁡ 2 z 3 / 2

Assim,

D z 1 1 + cos 2 ⁡ 2 z = 2   s e n   2 z cos ⁡ 2 z   1 + cos 2 ⁡ 2 z 3 / 2

Resposta

D z 1 1 + cos 2 ⁡ 2 z = 2   s e n   2 z cos ⁡ 2 z   1 + cos 2 ⁡ 2 z 3 / 2

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